Pembuktian Himpunan Kosong Himpunan Bagian Sebarang Himpunan

Ini Soal yang menurut saya sangat dejavu
Sering banget keluar pada soal soal di mata kuliah Dasar Dasar Matematika
Baik di soal Kuis, UTS, Maupun UAS
Tetapi Seberapa sering soal ini keluar, se sering itu juga saya salah dalam mengerjakan

Baiklah ini lah Soal nya

Buktikan Bahwa Himpunan Kosong adalah Himpunan Bagian dari sebarang Himpunan

Jawab :

Diambil sebarang Himpunan A,B
Dengan A Himpunan Bagian Dari B

A himpunan Bagian dari B jika untuk setiap x elemen A, x juga elemen B
Jadi anggap antiseden p adalah : x elemen A
dan Konsekuen q adalah : x elemen B

Karena A,B sebarang Himpunan
dan kita ingin membuktikan Himpunan Kosong Himpunan Bagian dari sebarang Himpunan
Maka kita pilih A = Himpunan Kosong (Toh A iku sebarang Himpunan)
Akan kita buktian apakah Himpunan Kosong Himpunan Bagian dari B (B=sebarang Himpunan)

Himpunan Kosong adalah Himpunan yang tidak memiliki angggota
Sehingga pernyataan p yang menyebutkan bahwa x elemen Himpunan Kosong adalah salah
(Karena tidak ada x elemen Himpunan Kosong,,wong Himp Kosong gak punya anggota)

Pernyataan p salah
Sehingga Apapun nilai kebenaran pernyataan q
Menyebabkan nilai kebenaran pernyataan p => q selalu benar

Sehingga terbukti bahwa Himpunan Kosong adalah Himpunan Bagian dari sebarang Himpunan

Selesai

Sudah ya gan

Pendapat saya :
Jawaban itu benar ketika anda mengerjakan soal DDM2 yang seperti itu
Aneh nya,
Dosen Saya menjelaskan hal ini secara tidak langsung saat Kuliah Struktur Aljabar
Jadi dapat dipertanggungjawabkan kebenaran nya.
Menurut saya sich
Pembuktian diatas merupakan pembuktian yang lucu :D
Tapi Logis
Lihat bahwa ketika p salah, q benar , maka p => q benar
Ketika p salah , q salah , maka p => q juga tetap benar

Saya dulu menjawab nya begini

Misal A Himpunan dengan elemen nya { a1,a2,...,an)
Maka
A Himpunan Bagian dari A
A\{a1} Himpunan Bagian dari A
A\{a1,a2} Himpunan Bagian dari A

Sehingga secara umum Jika B Himpunan Bagian dari A
Maka A\B Himpunan Bagian dari A

Artiya ketika kita mengambil B = A
Maka (B = A) A Himpunan Bagian dari A (Himpunan Bagian Tak Sejati)

Sehingga A\B = A\A
A\B Himpunan Bagian dari A ( Untuk setiap B Himpunan Bagian dari A)
Maka A\A Himpunan Bagian dari A

Definisi A\B = {x | x elemen A, x bukan elemen B)
Jadi A\A = {x | x elemen A, x bukan elemen A) = Himpunan Kosong

Karena A\A Himpunan Bagian dari A
dan A\A = Himpunan Kosong
Maka Terbukti bahwa Himpunan Kosong adalah Himpunan Bagian dari sebarang Himpunan

Tetapi Jawaban saya yang begini disalahkan :'(

Yach,,,begitulah
Selamat berduka ria yach yang ikut Kuliah Dasar Dasar Matematika

Pembuktian Tak Langsung Dengan Metode Kontraposisi

Terkadang suatu pembuktian tidak dapat dibuktikan secara langsung

Okelah ane ngaku, "tidak dapat" disini bisa memiliki dua arti
Pertamax,
Karena memang tidak ada metode apapun yang bisa membuat pernyataan tersebut terbukti secara langsung, dan cenderung lebih mudah dan logis ketika dibuktikan secara tak langsung.

atau kemungkinan kedua
#ane yang memang tidak bisa mengerjakan soalnya,
karena sebelum ujian,, ane tidak belajar :D
#Just kidding gan

Baiklah, untuk metode pembuktian tidak langsung sendiri
Terdapat dua macam, yaitu
1. Metode Kontraposisi
2. Metode Kontradiksi

Pernyataan p -> q ekuivalen dengan kontraposisi nya yaitu ~q -> ~p
Sehingga logis donk ketika kita membuktikan bahwa kontraposisi nya ( ~q -> ~p) benar
Maka secara TIDAK LANGSUNG, kita telah membuktikan pernyataan awal ( p -> q) juga benar
Hal inilah yang dinamakan Bukti tak langsung dengan metode kontraposisi

Contoh :
(NB : Contoh ini juga idem dengan postingan ane tentang akar(3) bilangan irrasional)

Buktikan bahwa
Jika n kuadrat genap, maka n genap

Diskusi :
Kalau agan agan langsung kerja kuli dengan bukti langsung
agan tulis n^2 = 2k , dengan k elemen Z Himpunan Bilangan Bulat
lalu??? n = akar(2k) ???? jadi apa gan??? bingung kan???

Penyelesaian :
jika p maka q
p : n kuadrat genap
q : n genap
Dengan metode kontraposisi
Kita buktikan kebenaran penyataan kontraposisi nya yaitu

Jika n gasal, maka n kuadrat gasal

(Ingat : negasi dari genap adalah gasal,,not the others
Njawab : Lha ganjil kan negasi nya genap kak? Halah,,sama saja dek)

n gasal
n dapat dinyatakan dengan 2k + 1 ,dengan k elemen Z

(Bilangan gasal iku bilangan yang gak habis ketika dibagi 2)

Sehingga terbukti benar bahwa
Jika n gasal, maka n kuadrat gasal

Secara tidak langsung pernyataan awal terbukti benar
Terbukti bahwa

Jika n kuadrat genap, maka n genap


Huft,,,seneng dech kalau sudah ketemu kata "TERBUKTI"

Thanks

Tagged : DDM2 , Kontraposisi , Bukti tak langsung , jika n^2 genap maka n genap