Kepada segenap agan agan yang saya hormati
Tak lupa pula dengan mbak sist yang sangat saya sayangi
Nilai ane kalah gan, dari teman ane sendiri yang belajar bareng dengan ane
Namanya Agus Randhani Rahmatullah
Ada cerita unik dari nama teman ane ini
Secara tidak sengaja, ane bisa menebak secara benar arti namanya
Dan secara tidak langsung, dia bercerita panjang lebar tentang arti namanya
Jadi gini, dulu jaman tidak enak saat perang timor timor
Ayahnya dhani ikut berangkat ke peperangan disaat ibunya dhani lagi hamil
Yang ditakutkan adalah ketika Ibunya dhani menjadi Janda atau men-Janda-ni.
Jikalau ayahnya wafat saat perang (berpulang ke Rahmatullah)
Akhirnya anaknya dinamakan Agus, artinya anak bagus
Singkat cerita jadi gini
Anak baGUS yang menjaga jikalau ibunya ngeRANDHANI di saat ayahnya berpulang ke RAHMATULLAH
Jadilah anak nan pintar yang bernama AGUS RANDHANI RAHMATULLAH
Dan Ternyata alhamdulillah, ayahnya belum mati
Tetapi Kali ini ternyata ane ditertawakan gan
Ditertawakan orang2 sekelas lagi, termasuk dosennya
Padahal belum tentu yang menertawakan ane itu nilainya lebih baik dari ane
Padahal nilai ane yang 64 itu kan gak jelek jelek amat
Entahlah, biarkanlah "ANJING" menggonggong
Dewasa ini gk ada gan, orang yang ikut senang saat orang lain bahagia
Yang ada, orang itu iri dan justru malah lebih senang melihat orang lain menderita
Wah, koq ane jadi ngasih pesan moral gini
Entahlah,langsung aja cekidot ke soal
1. Buktikan bahwa n^3 - n habis dibagi 3
Jawab : Sebelumnya untuk n=2 8-2 = 6 , 6 habis dibagi 3 Karena 6 = 3x2
Dengan Teorema Induksi Matematika
untuk n=1
1-1=0, 0 kelipatan 3 sebab 0=0x3
untuk n=k
k^3 - k habis dibagi 3 dengan t elemen N bilangan Asli
k^3 - k = 3t
untuk n=k+1
(k+1)^3 - (k+1)
=k^3 + 3k^2 + 3k + 1 - k - 1
=k^3 + 3k^2 + 3k - k
=(k^3 - k) + 3k^2 +3k
=3t + 3(k^2 + k)
=3(t + k^2 + k)
dengan (t + k^2 + k) elemen N Maka berlaku pula untuk n=k+1
Dengan Demikian Terbukti benar bahwa n^3 - n selalu habis dibagi 3
InterMEZZO Sebenarnya ketika diuraikan n^3 - n = n(n-1)(n+1)
Himpunan Kelas ekuivalensi yang terPartisi untuk kelipatan 3,yaitu
[1] = { ...,-5,-2,1,4,7,10,... }
[2] = { ...,-4,-1,2,5,8,11,... }
[3] = { ...,-3,0,3,6,9,12,... } Termasuk juga 0
(Lazimnya Himpunan [3] ditulis Himpunan [0])
Sehingga untuk n himpunan [1] Ambillah n=4 4(4-1)(4+1) Terlihat kelipatan 3 di n-1 yaitu 4-1
Untuk n himpunan [2], ambil n=2 2(2-1)(2+1) Terlihat kelipatan 3 di n+1 yaitu 2+1
Untuk n himpunan [3], terihat kelipatan 3 di n, ambil n=3 3(3-1)(3+1) Terlihat di n=3
2. Buktikan bahwa akar(2) adalah bilangan irrasional
(Pentunjuk : Jika x bilangan rasional, maka x dapat dinyatakan dalam bentuk pecahan yang paling sederhana)
Jawab : Dari petunjuk tersebut, secara tidak langsung memberitahukan bahwa untuk x = a/b bentuk pecahan yang paling sederhana
a dan b relatif prima, Artinya tidak ada faktor persekutuan dari a dan b selain 1
fpb(a,b) = 1 dan memang hanya satu (tunggal) yaitu 1 itu sendiri
Barulah x dikatakan bentuk pecahan yang paling sederhana
Dengan Pernyataan :
Jika x adalah akar(2), maka x merupakan bilangan irrasional
Dengan Bukti Kontradiksi
Andaikan ( ~q ) benar
Andaikan x adalah bilangan rasional (Dengan mengasumsikan p juga benar => p : x adalah akar(2)
Andaikan x adalah bilangan rasional, x dapat dinyatakan dengan a/b
Dengan a,b elemen Z (Elemen bilangan bulat dan b tidak sama dengan nol ( b != 0 )
akar(2) = a/b
Kuadratkan kedua ruas
2 = a^2/b^2
a^2 = 2(b^2)
a kuadrat merupakan bilangan positif kelipatan 2, maka a kuadrat genap
Jika a kuadrat genap, maka a juga bilangan genap
a dapat dinyatakan dengan 2t dengan t elemen N (N bilangan asli)
a = 2t
Substitusikan a = 2t ke persamaan awal
a^2 = 2(b^2)
(2t)^2 = 2(b^2)
4(t^2) = 2(b^2)
2(t^2) = b^2
b kuadrat adalah 2(t kuadrat) dengan t elemen N, maka b kuadrat genap
Jika b kuadrat genap, maka b juga genap
b dapat dinyatakan dengan 2s dengan s elemen N (N bilangan asli)
Sehingga a/b = 2t/2s
a/b bukan merupakan pecahan yang paling sederhana, karena ada faktor persekutuan 2
a/b masih bisa dinyatakan lagi dengan t/s
Karena ada faktor persekutuan lain selain 1 pada a dan b
(Faktor tersebut adalah 2, karena a dan b sama sama genap)
Maka hal tersebut bertentangan (KONTRADIKSI) dengan pernyataan bahwa :
1. a/b bentuk pecahan yang paling sederhana
2. a dan b merupakan relatif prima dimana tidak ada faktor persekutuan dari a dan b selain 1
Maka pengandaian ditolak, Pernyataan p dan ~q adalah salah
Menyebabkan pernyataan negasinya, p => q terbukti benar
Terbukti bahwa akar(2) adalah bilangan irrasional
InterMEZZO :
Sekedar mereview tentang bilangan prima
Bilangan prima adalah bilangan yang hanya mempunyai faktor dirinya sendiri dan 1
Seperti
2 = 2x1
3 = 3x1
5 = 5x1
7 = 7x1
Dan meskipun 9 = 9x1 , Tetapi 9 bukan merupakan bilangan prima
Karena ada faktor lain => 9 = 3x3
Nah, itu tadi absolut revo, eh maksudnya absolut prima gan
Ini ane jelaskan tentang relatif prima
Arti kata relatif, tidak mutlak, nisbi, tidak pasti
Artinya, bilangan tersebut tidak mesti prima, prima di kondisi tertentu
Kadang prima, kadang bukan
Kita tahu bahwa 9 bukan prima
4 juga bukan prima (Karena selain 4 = 4x1 ternyata 4 juga 4 = 2x2)
9 dan 4 bukan prima
Tetapi 9 terhadap 4 dan 4 terhadap 9
Mereka berdua saling prima relatif
Karena tidak ada faktor pembagi antara 4 dan 9
Faktor Persekutuan Terbesar(FPB) dari 4 dan 9 hanyalah 1 dan itu tunggal
Kita tahu bahwa 9 bilangan ganjil dan 6 adalah bilangan genap
Disini 6 dan 9 bukanlah relatif prima
Karena adalah faktor 3 yang dapat membagi 6 ( 6 = 3x2) dan dapat membagi 9 ( 9 = 3x3)
Disini kesalah ane
Ane pikir 4 bilangan genap dan 9 bilangan gasal, dan diantara mereka adalah relatif prima
Sehingga ane simpulkan bahwa untuk semua x bilangan genap dan y bilangan gasal
Maka antara x dan y pasti relatif prima
Tetapi Bu Dosen saya yang sangat pandai langsung memberi contoh 6/9
Saya langsung shock ketika 6/9 itu diberi lingkaran berwarna merah
Ternyata saya memang pantas ditertawakan
Saya memanglah seorang newbie yang saat itu kelabakan akan waktu ujian
Sehingga saya mengambil kesimpulan yang cepat dan salah hanya dari satu contoh
3. Tunjukkan untuk setiap bilangan real r terdapat bilangan real x, demikian hingga x^3 = r
Jawab :
Dengan teorema eksistensi akan dibuktikan :
Misalkan sebarang bilangan real yang memenuhi ada x elemen bilangan real ; x^3 = r
Sehingga misal ambil nilai r elemen bilangan Real ; r=1/a
maka akan terdapat nilai x elemen bilangan Real yang memenuhi x^3 = r ; yaitu a^-1/3 elemen bilangan Real
Begitupun jika kita mengambil nilai r = a^3
maka akan terdapat nilai x elemen bilangan Real yang memenuhi x^3 = r ; yaitu x = a^1/3 dengan a elemen bilangan Real
Dengan demikian untuk semua bilangan real r terdapat bilangan real x, sedemikian rupa sehingga x^3 = r
