Minggu, 22 Januari 2012

MASTER KONTRADIKSI : Pembahasan UAS DDM II

Ujian Akhir Semester Gasal 2011/2012
Mata Kuliah : Dasar-dasar Matematika II
Hari/tanggal : Kamis, 5 Januari 2012
Waktu : 100 Menit
Pembina : Dra. Inna Kuswandari M.Si
: Liliek Susilowati, S.Si, M.Si

1. Tunjukkan bahwa grafik fungsi y = 3x^2 + 2x + 3 dan y = -2x -2 tidak berpotongan
2. Jika a dan b adalah bilangan negatif maka tunjukkan bahwa pernyataan di bawah ini ekivalen :
i. a < b

ii. |a| > b
iii. a^2 > b^2
3. Buktikan bahwa akar(3) merupakan bilangan irrasional.
4. Tunjukkan bahwa 9^n – 2^n habis dibagi 7 untuk setiap bilangan asli n.
5. Misalkan p bilangan prima, tunjukkan jika p membagi ab maka p membagi a atau p membagi b.
6. Diketahui f dan g masing-masing merupakan fungsi gasal bernilai real.
Tunjukkan apakah pernyataan di bawah ini bernilai benar. Berikan argumentasi anda.
a. f+g merupakan fungsi gasal
b. fog merupakan fungsi genap

************
1. Bekerjalah dengan penuh percaya diri, kejujuran dan tanggung jawab.
2. Kecurangan berakibat pada tidak dikoreksinya lembar kerja anda.


Ketemu lagi gan
Langsung cekidot saja ya ke TKP
Nama : Candra Arga Maulana
NIM : 081012063
Prodi : Matematika
Tanda tangan :
Jawaban :
1. Dengan Bukti Kontradiksi
Andaikan ( ~q ) benar
Andaikan kedua grafik itu berpotongan
Maka terdapat x elemen bil. Real ketika y1 = y2


Jika x elemen bilangan Real, maka persamaan kuadrat diatas harus memiliki Diskriminan yang lebih besar sama dengan nol
D = 0, akar-akar (nilai x) elemen Real dengan 2 bilangan yang sama (1 angka saja)
D > 0, akar-akar (nilai x) elemen Real dengan 2 bilangan yang berbeda

Diskriminan D = -44
D < 0, akar-akar (nilai x) adalah elemen bilangan kompleks dengan adanya bilangan imajiner Kontradiksi dengan pernyataan bahwa D harus lebih dari atau sama dengan nol

X elemen bilangan kompleks (dengan adanya bilangan Imajiner)
Kontradiksi dengan pernyataan bahwa x harus elemen bilangan Real

Pengandaian diingkar dan pernyataan dianggap benar
Terbukti bahwa kedua grafik tidak berpotongan

2.a dan b bilangan negatif dengan a < b, maka

Dimisalkan a = -n-k
b = -n, dengan k,n elemen N bilangan Asli
Terlihat bahwa –n-k < -n adalah suatu hal yang benar untuk a < b

Karena jika kedua ruas ditambah (n+k)
-n-k + (n+k) < -n + (n+k)

0 < k , adalah suatu hal yang benar pula karena k elemen N bilangan asli

(i) ke (ii)
a < b

-n-k < -n ...(1)

Dengan teorema bahwa bilangan positif pasti lebih besar dari bilangan negatif,maka dapat kita manipulasi
-n < n+k ...(2)

Dari pertidaksamaan (1) dan (2), didapat
-n-k < -n < n+k

-(n+k) < -n < n+k

a < b < -a

dapat pula ditulis
-a > b > a
Hal ini adalah arti nilai mutlak, dapat dituliskan
| a | > b
(ii) ke (iii)

| a | > b
-a > b > a
n+k > -n > -n-k
terdapat dua pertidaksaamaan


(n+k+n)(n+k-n) > 0
n+k+n > 0 atau n+k-n > 0
Untuk n+k+n > 0
n+k > -n
n+k > -n > -n-k
-a > b > a
Adalah tanda mutlak seperti pernyataan (ii) | a | > b

Untuk n+k-n > 0
n+k > n
kedua ruas dikali (-1)
-n-k < -n

a < b kembali ke pernyataan (i).

3. Jika x = akar(3) , maka x bilangan irrasional
Dengan Bukti kontradiksi
Andaikan (~ q ) benar
Andaikan x bilangan rasional
Maka x = akar(3) dapat dinyatakan dalam bentuk pecahan yang paling sederhana
Dalam arti untuk akar(3) = a/b. a dan b keduanya haruslah saling relatif prima, dengan fpb (a,b) = 1


Sehingga, a = 3t dan b = 3s
Dengan t,s elemen Z bilangan bulat
Maka pecahan a/b bukan bentuk pecahan yang paling sederhana
Karena pecahan a/b = 3s/3t
Masih dapat disederhanakan dengan membagi pembilang dan penyebut dengan 3 menjadi a/b = s/t
Hal ini kontradiksi dengan pernyataan bahwa a/b pecahan yang paling sederhana

FPB(a,b) jelas adalah 3
Kontradiksi dengan pernyataan bahwa FPB(a,b) adalah 1

Pengandaian diingkar,dan pernyataan awal terbukti benar
Terbukti bahwa akar(3) adalah bilangan irrasional

4. Dengan Induksi Matematika


5. Jika p membagi ab maka p membagi a atau p membagi b.
Dengan p bilangan prima
Antiseden p : p membagi ab
Konsekuen q : p membagi a atau p membagi b (Pernyataan Disjungsi a V b)
Dengan Bukti Kontradiksi
Andaikan (~q) benar
~ ( a V b ) ekuivalen dengan ~ a dan ~ b
P membagi ab, ditulis ab = px, dengan x elemen N bilangan asli, tidak bersisa (sisa = 0)
Andaikan (~q), andaikan p tidak membagi a dan p juga tidak membagi b
a = pq+r , dengan q,r elemen N bilangan asli, dan 0 < r < q (r adalah sisa hasil bagi)
b = ps+t , dengan s,t elemen N bilangan asli, dan 0 < t < s (t adalah sisa hasil bagi)

sehingga ab = (pq+r)(ps+t)
= (pqps + pqt + psr +rt)
= p(pqs + qt + sr) + rt
Dengan (pqs + qt + sr) elemen N bilangan asli, terdapat sisa rt yang tidak sama dengan nol, karena 0 < r < q, dan 0 < t < s
Menyebabkan 0 < rt < (pqs + qt + sr)
Terdapat sisa rt (yang tidak sama dengan nol) saat p membagi ab
Hal ini KONTRADIKSI (Bertentangan) dengan pernyataan Antiseden p bahwa p membagi habis ab dengan sisa = 0
Sehingga pengandaian diingkar dan pernyataan awal terbukti benar.
Terbukti bahwa Jika p membagi ab maka p membagi a atau p membagi b.

7 komentar:

  1. mas, untuk jawabab no 5 kenapa berbeda dengan jawaban posting bulan desember 2012, sepertinya soalnya sama?

    BalasHapus
  2. Soalnya "Hampir Mirip Artis"
    Soal nya mirip, tapi sebenarnya beda
    Yang disini itu p bilangan prima
    Yang desember itu p bilangan bulat
    Memang dosennya pintar, memberi soal yang kelihatannya sama tapi beda
    Jawabannya sudah beda juga lah

    Tak kasih ilustrasi contoh sedikit (Maaf,aku gak punya waktu)
    kalau p prima, misal p = 7
    jika 7 membagi 56 (7x8), maka 7 membagi 7 (benar) atau 7 membagi 8
    Jika 7 membagi 56 (14x4) maka 7 membagi 14 (benar) atau 7 membagi 4
    Atau = salah satu benar, pernyataan jadi benar

    Sekarang kalau p bilangan bulat
    misal tak ambil p = 4
    Jika 4 membagi 32 (4x8) maka 4 membagi 4 (benar) dan 4 membagi 8 (benar)
    Benar sih,tapi rela bagi bagi,
    Tapi lihat contoh ini
    misal tak ambil p = 16
    Jika 16 membagi 32 (4x8), maka 16 membagi 4 (salah) atau 16 membagi 8 (juga salah :p )

    Karena bilangan bulat itu kadang punya banyak faktor
    Sementara bilangan prima itu jelas, faktornya ya dirinya sendiri dan 1

    Fahimti Nuha Nabila???
    Kul dimana????
    Angkatan berapa???
    Matematika juga????

    BalasHapus
  3. ou gitu
    terimakasih mas, tutorialnya cukup membantu uji kompetensi saya kemarin

    iya matematika, pendidikan matematika tepatnya di universitas negeri, solo

    BalasHapus
  4. Iya Mbak sama sama
    Senang rasanya saya bisa membantu

    BalasHapus
  5. mas maksud dari antiseden dengan konsekuen tu apa

    BalasHapus
    Balasan
    1. Pernyataan implikasi kan
      Jika p maka q
      Nah, p ini disebut antiseden
      dan q ini disebut konsekuen

      Hapus
  6. like this ! :) (y)

    BalasHapus