Pembuktian Tak Langsung Dengan Metode Kontraposisi

Terkadang suatu pembuktian tidak dapat dibuktikan secara langsung

Okelah ane ngaku, "tidak dapat" disini bisa memiliki dua arti
Pertamax,
Karena memang tidak ada metode apapun yang bisa membuat pernyataan tersebut terbukti secara langsung, dan cenderung lebih mudah dan logis ketika dibuktikan secara tak langsung.

atau kemungkinan kedua
#ane yang memang tidak bisa mengerjakan soalnya,
karena sebelum ujian,, ane tidak belajar :D
#Just kidding gan

Baiklah, untuk metode pembuktian tidak langsung sendiri
Terdapat dua macam, yaitu
1. Metode Kontraposisi
2. Metode Kontradiksi

Pernyataan p -> q ekuivalen dengan kontraposisi nya yaitu ~q -> ~p
Sehingga logis donk ketika kita membuktikan bahwa kontraposisi nya ( ~q -> ~p) benar
Maka secara TIDAK LANGSUNG, kita telah membuktikan pernyataan awal ( p -> q) juga benar
Hal inilah yang dinamakan Bukti tak langsung dengan metode kontraposisi

Contoh :
(NB : Contoh ini juga idem dengan postingan ane tentang akar(3) bilangan irrasional)

Buktikan bahwa
Jika n kuadrat genap, maka n genap

Diskusi :
Kalau agan agan langsung kerja kuli dengan bukti langsung
agan tulis n^2 = 2k , dengan k elemen Z Himpunan Bilangan Bulat
lalu??? n = akar(2k) ???? jadi apa gan??? bingung kan???

Penyelesaian :
jika p maka q
p : n kuadrat genap
q : n genap
Dengan metode kontraposisi
Kita buktikan kebenaran penyataan kontraposisi nya yaitu

Jika n gasal, maka n kuadrat gasal

(Ingat : negasi dari genap adalah gasal,,not the others
Njawab : Lha ganjil kan negasi nya genap kak? Halah,,sama saja dek)

n gasal
n dapat dinyatakan dengan 2k + 1 ,dengan k elemen Z

(Bilangan gasal iku bilangan yang gak habis ketika dibagi 2)

Sehingga terbukti benar bahwa
Jika n gasal, maka n kuadrat gasal

Secara tidak langsung pernyataan awal terbukti benar
Terbukti bahwa

Jika n kuadrat genap, maka n genap


Huft,,,seneng dech kalau sudah ketemu kata "TERBUKTI"

Thanks

Tagged : DDM2 , Kontraposisi , Bukti tak langsung , jika n^2 genap maka n genap

Pembuktian Biimplikasi gampang gampang-an

Thanks atas aganwati/sista Indah Permata, Maba Math UI
Salam Semangat dan Selamat

Akan di update kan Pembahasan Soal kemarin

Buktikan bahwa a < b jika dan hanya jika (1/a) > (1/b)

Nah loh

Biimplikasi merupakan pernyataan implikasi 2 arah

Jawab :

(i). Dibuktikan Bahwa Jika a < b maka (1/a) > (1/b)
Jika a < b , maka ada dengan tunggal n elemen N bilangan asli sehingga a + n = b

(1/a) = 1/a

(1/b) = 1/(a+n)

Menyamakan penyebut dengan KPK a(a+n)

(1/a) = (a+n)/[a(a+n)]

(1/b) = a/[a(a+n)]

maka jelas bahwa a+n > a
Sehingga terbukti bahwa (1/a) > (1/b)


(ii). Dibuktikan Bahwa Jika (1/a) > (1/b) maka a < b

Kita tidak bisa membandingkan pecahan jika Penyebutnya tidak sama

Menyamakan penyebut dengan KPK ab

(1/a) = b/ab

(1/b) = a/ab

jelas bahwa b > a
Atau dengan kata lain a < b

Terbukti bahwa a < b

Karena terbukti dari 2 sisi (kiri ke kanan dan kanan ke kiri)

Maka terbukti Bahwa
a < b jika dan hanya jika (1/a) > (1/b)

Thanks Before

MASTER KONTRADIKSI : Pembahasan UAS DDM II

Ujian Akhir Semester Gasal 2011/2012
Mata Kuliah : Dasar-dasar Matematika II
Hari/tanggal : Kamis, 5 Januari 2012
Waktu : 100 Menit
Pembina : Dra. Inna Kuswandari M.Si
: Liliek Susilowati, S.Si, M.Si

1. Tunjukkan bahwa grafik fungsi y = 3x^2 + 2x + 3 dan y = -2x -2 tidak berpotongan
2. Jika a dan b adalah bilangan negatif maka tunjukkan bahwa pernyataan di bawah ini ekivalen :
i. a < b

ii. |a| > b
iii. a^2 > b^2
3. Buktikan bahwa akar(3) merupakan bilangan irrasional.
4. Tunjukkan bahwa 9^n – 2^n habis dibagi 7 untuk setiap bilangan asli n.
5. Misalkan p bilangan prima, tunjukkan jika p membagi ab maka p membagi a atau p membagi b.
6. Diketahui f dan g masing-masing merupakan fungsi gasal bernilai real.
Tunjukkan apakah pernyataan di bawah ini bernilai benar. Berikan argumentasi anda.
a. f+g merupakan fungsi gasal
b. fog merupakan fungsi genap

************
1. Bekerjalah dengan penuh percaya diri, kejujuran dan tanggung jawab.
2. Kecurangan berakibat pada tidak dikoreksinya lembar kerja anda.


Ketemu lagi gan
Langsung cekidot saja ya ke TKP
Nama : Candra Arga Maulana
NIM : 081012063
Prodi : Matematika
Tanda tangan :
Jawaban :
1. Dengan Bukti Kontradiksi
Andaikan ( ~q ) benar
Andaikan kedua grafik itu berpotongan
Maka terdapat x elemen bil. Real ketika y1 = y2

Jika x elemen bilangan Real, maka persamaan kuadrat diatas harus memiliki Diskriminan yang lebih besar sama dengan nol
D = 0, akar-akar (nilai x) elemen Real dengan 2 bilangan yang sama (1 angka saja)
D > 0, akar-akar (nilai x) elemen Real dengan 2 bilangan yang berbeda

Diskriminan D = -44
D < 0, akar-akar (nilai x) adalah elemen bilangan kompleks dengan adanya bilangan imajiner Kontradiksi dengan pernyataan bahwa D harus lebih dari atau sama dengan nol

X elemen bilangan kompleks (dengan adanya bilangan Imajiner)
Kontradiksi dengan pernyataan bahwa x harus elemen bilangan Real

Pengandaian diingkar dan pernyataan dianggap benar
Terbukti bahwa kedua grafik tidak berpotongan

2.a dan b bilangan negatif dengan a < b, maka

Dimisalkan a = -n-k

b = -n, dengan k,n elemen N bilangan Asli

Terlihat bahwa –n-k < -n adalah suatu hal yang benar untuk a < b

Karena jika kedua ruas ditambah (n+k)

-n-k + (n+k) < -n + (n+k)

0 < k , adalah suatu hal yang benar pula karena k elemen N bilangan asli

(i) ke (ii)

a < b

-n-k < -n ...(1)

Dengan teorema bahwa bilangan positif pasti lebih besar dari bilangan negatif,maka dapat kita manipulasi

-n < n+k ...(2)

Dari pertidaksamaan (1) dan (2), didapat

-n-k < -n < n+k

-(n+k) < -n < n+k

a < b < -a

dapat pula ditulis

-a > b > a

Hal ini adalah arti nilai mutlak, dapat dituliskan

| a | > b

(ii) ke (iii)

| a | > b
-a > b > a
n+k > -n > -n-k
terdapat dua pertidaksaamaan

(n+k+n)(n+k-n) > 0
n+k+n > 0 atau n+k-n > 0
Untuk n+k+n > 0
n+k > -n
n+k > -n > -n-k
-a > b > a
Adalah tanda mutlak seperti pernyataan (ii) | a | > b

Untuk n+k-n > 0
n+k > n
kedua ruas dikali (-1)
-n-k < -n

a < b kembali ke pernyataan (i).

3. Jika x = akar(3) , maka x bilangan irrasional
Dengan Bukti kontradiksi
Andaikan (~ q ) benar
Andaikan x bilangan rasional
Maka x = akar(3) dapat dinyatakan dalam bentuk pecahan yang paling sederhana
Dalam arti untuk akar(3) = a/b. a dan b keduanya haruslah saling relatif prima, dengan fpb (a,b) = 1

Sehingga, a = 3t dan b = 3s
Dengan t,s elemen Z bilangan bulat
Maka pecahan a/b bukan bentuk pecahan yang paling sederhana
Karena pecahan a/b = 3s/3t
Masih dapat disederhanakan dengan membagi pembilang dan penyebut dengan 3 menjadi a/b = s/t
Hal ini kontradiksi dengan pernyataan bahwa a/b pecahan yang paling sederhana

FPB(a,b) jelas adalah 3
Kontradiksi dengan pernyataan bahwa FPB(a,b) adalah 1

Pengandaian diingkar,dan pernyataan awal terbukti benar
Terbukti bahwa akar(3) adalah bilangan irrasional

4. Dengan Induksi Matematika

5. Jika p membagi ab maka p membagi a atau p membagi b.
Dengan p bilangan prima
Antiseden p : p membagi ab
Konsekuen q : p membagi a atau p membagi b (Pernyataan Disjungsi a V b)
Dengan Bukti Kontradiksi
Andaikan (~q) benar
~ ( a V b ) ekuivalen dengan ~ a dan ~ b
P membagi ab, ditulis ab = px, dengan x elemen N bilangan asli, tidak bersisa (sisa = 0)
Andaikan (~q), andaikan p tidak membagi a dan p juga tidak membagi b
a = pq+r , dengan q,r elemen N bilangan asli, dan 0 < r < q (r adalah sisa hasil bagi)
b = ps+t , dengan s,t elemen N bilangan asli, dan 0 < t < s (t adalah sisa hasil bagi)

sehingga ab = (pq+r)(ps+t)
= (pqps + pqt + psr +rt)
= p(pqs + qt + sr) + rt
Dengan (pqs + qt + sr) elemen N bilangan asli, terdapat sisa rt yang tidak sama dengan nol, karena 0 < r < q, dan 0 < t < s
Menyebabkan 0 < rt < (pqs + qt + sr)
Terdapat sisa rt (yang tidak sama dengan nol) saat p membagi ab
Hal ini KONTRADIKSI (Bertentangan) dengan pernyataan Antiseden p bahwa p membagi habis ab dengan sisa = 0
Sehingga pengandaian diingkar dan pernyataan awal terbukti benar.
Terbukti bahwa Jika p membagi ab maka p membagi a atau p membagi b.