MASTER KONTRADIKSI : Pembahasan UAS DDM II

Ujian Akhir Semester Gasal 2011/2012
Mata Kuliah : Dasar-dasar Matematika II
Hari/tanggal : Kamis, 5 Januari 2012
Waktu : 100 Menit
Pembina : Dra. Inna Kuswandari M.Si
: Liliek Susilowati, S.Si, M.Si

1. Tunjukkan bahwa grafik fungsi y = 3x^2 + 2x + 3 dan y = -2x -2 tidak berpotongan
2. Jika a dan b adalah bilangan negatif maka tunjukkan bahwa pernyataan di bawah ini ekivalen :
i. a < b

ii. |a| > b
iii. a^2 > b^2
3. Buktikan bahwa akar(3) merupakan bilangan irrasional.
4. Tunjukkan bahwa 9^n – 2^n habis dibagi 7 untuk setiap bilangan asli n.
5. Misalkan p bilangan prima, tunjukkan jika p membagi ab maka p membagi a atau p membagi b.
6. Diketahui f dan g masing-masing merupakan fungsi gasal bernilai real.
Tunjukkan apakah pernyataan di bawah ini bernilai benar. Berikan argumentasi anda.
a. f+g merupakan fungsi gasal
b. fog merupakan fungsi genap

************
1. Bekerjalah dengan penuh percaya diri, kejujuran dan tanggung jawab.
2. Kecurangan berakibat pada tidak dikoreksinya lembar kerja anda.


Ketemu lagi gan
Langsung cekidot saja ya ke TKP
Nama : Candra Arga Maulana
NIM : 081012063
Prodi : Matematika
Tanda tangan :
Jawaban :
1. Dengan Bukti Kontradiksi
Andaikan ( ~q ) benar
Andaikan kedua grafik itu berpotongan
Maka terdapat x elemen bil. Real ketika y1 = y2

Jika x elemen bilangan Real, maka persamaan kuadrat diatas harus memiliki Diskriminan yang lebih besar sama dengan nol
D = 0, akar-akar (nilai x) elemen Real dengan 2 bilangan yang sama (1 angka saja)
D > 0, akar-akar (nilai x) elemen Real dengan 2 bilangan yang berbeda

Diskriminan D = -44
D < 0, akar-akar (nilai x) adalah elemen bilangan kompleks dengan adanya bilangan imajiner Kontradiksi dengan pernyataan bahwa D harus lebih dari atau sama dengan nol

X elemen bilangan kompleks (dengan adanya bilangan Imajiner)
Kontradiksi dengan pernyataan bahwa x harus elemen bilangan Real

Pengandaian diingkar dan pernyataan dianggap benar
Terbukti bahwa kedua grafik tidak berpotongan

2.a dan b bilangan negatif dengan a < b, maka

Dimisalkan a = -n-k

b = -n, dengan k,n elemen N bilangan Asli

Terlihat bahwa –n-k < -n adalah suatu hal yang benar untuk a < b

Karena jika kedua ruas ditambah (n+k)

-n-k + (n+k) < -n + (n+k)

0 < k , adalah suatu hal yang benar pula karena k elemen N bilangan asli

(i) ke (ii)

a < b

-n-k < -n ...(1)

Dengan teorema bahwa bilangan positif pasti lebih besar dari bilangan negatif,maka dapat kita manipulasi

-n < n+k ...(2)

Dari pertidaksamaan (1) dan (2), didapat

-n-k < -n < n+k

-(n+k) < -n < n+k

a < b < -a

dapat pula ditulis

-a > b > a

Hal ini adalah arti nilai mutlak, dapat dituliskan

| a | > b

(ii) ke (iii)

| a | > b
-a > b > a
n+k > -n > -n-k
terdapat dua pertidaksaamaan

(n+k+n)(n+k-n) > 0
n+k+n > 0 atau n+k-n > 0
Untuk n+k+n > 0
n+k > -n
n+k > -n > -n-k
-a > b > a
Adalah tanda mutlak seperti pernyataan (ii) | a | > b

Untuk n+k-n > 0
n+k > n
kedua ruas dikali (-1)
-n-k < -n

a < b kembali ke pernyataan (i).

3. Jika x = akar(3) , maka x bilangan irrasional
Dengan Bukti kontradiksi
Andaikan (~ q ) benar
Andaikan x bilangan rasional
Maka x = akar(3) dapat dinyatakan dalam bentuk pecahan yang paling sederhana
Dalam arti untuk akar(3) = a/b. a dan b keduanya haruslah saling relatif prima, dengan fpb (a,b) = 1

Sehingga, a = 3t dan b = 3s
Dengan t,s elemen Z bilangan bulat
Maka pecahan a/b bukan bentuk pecahan yang paling sederhana
Karena pecahan a/b = 3s/3t
Masih dapat disederhanakan dengan membagi pembilang dan penyebut dengan 3 menjadi a/b = s/t
Hal ini kontradiksi dengan pernyataan bahwa a/b pecahan yang paling sederhana

FPB(a,b) jelas adalah 3
Kontradiksi dengan pernyataan bahwa FPB(a,b) adalah 1

Pengandaian diingkar,dan pernyataan awal terbukti benar
Terbukti bahwa akar(3) adalah bilangan irrasional

4. Dengan Induksi Matematika

5. Jika p membagi ab maka p membagi a atau p membagi b.
Dengan p bilangan prima
Antiseden p : p membagi ab
Konsekuen q : p membagi a atau p membagi b (Pernyataan Disjungsi a V b)
Dengan Bukti Kontradiksi
Andaikan (~q) benar
~ ( a V b ) ekuivalen dengan ~ a dan ~ b
P membagi ab, ditulis ab = px, dengan x elemen N bilangan asli, tidak bersisa (sisa = 0)
Andaikan (~q), andaikan p tidak membagi a dan p juga tidak membagi b
a = pq+r , dengan q,r elemen N bilangan asli, dan 0 < r < q (r adalah sisa hasil bagi)
b = ps+t , dengan s,t elemen N bilangan asli, dan 0 < t < s (t adalah sisa hasil bagi)

sehingga ab = (pq+r)(ps+t)
= (pqps + pqt + psr +rt)
= p(pqs + qt + sr) + rt
Dengan (pqs + qt + sr) elemen N bilangan asli, terdapat sisa rt yang tidak sama dengan nol, karena 0 < r < q, dan 0 < t < s
Menyebabkan 0 < rt < (pqs + qt + sr)
Terdapat sisa rt (yang tidak sama dengan nol) saat p membagi ab
Hal ini KONTRADIKSI (Bertentangan) dengan pernyataan Antiseden p bahwa p membagi habis ab dengan sisa = 0
Sehingga pengandaian diingkar dan pernyataan awal terbukti benar.
Terbukti bahwa Jika p membagi ab maka p membagi a atau p membagi b.