MASTER KONTRADIKSI : Pembahasan UAS DDM II

Ujian Akhir Semester Gasal 2011/2012
Mata Kuliah : Dasar-dasar Matematika II
Hari/tanggal : Kamis, 5 Januari 2012
Waktu : 100 Menit
Pembina : Dra. Inna Kuswandari M.Si
: Liliek Susilowati, S.Si, M.Si

1. Tunjukkan bahwa grafik fungsi y = 3x^2 + 2x + 3 dan y = -2x -2 tidak berpotongan
2. Jika a dan b adalah bilangan negatif maka tunjukkan bahwa pernyataan di bawah ini ekivalen :
i. a < b

ii. |a| > b
iii. a^2 > b^2
3. Buktikan bahwa akar(3) merupakan bilangan irrasional.
4. Tunjukkan bahwa 9^n – 2^n habis dibagi 7 untuk setiap bilangan asli n.
5. Misalkan p bilangan prima, tunjukkan jika p membagi ab maka p membagi a atau p membagi b.
6. Diketahui f dan g masing-masing merupakan fungsi gasal bernilai real.
Tunjukkan apakah pernyataan di bawah ini bernilai benar. Berikan argumentasi anda.
a. f+g merupakan fungsi gasal
b. fog merupakan fungsi genap

************
1. Bekerjalah dengan penuh percaya diri, kejujuran dan tanggung jawab.
2. Kecurangan berakibat pada tidak dikoreksinya lembar kerja anda.


Ketemu lagi gan
Langsung cekidot saja ya ke TKP
Nama : Candra Arga Maulana
NIM : 081012063
Prodi : Matematika
Tanda tangan :
Jawaban :
1. Dengan Bukti Kontradiksi
Andaikan ( ~q ) benar
Andaikan kedua grafik itu berpotongan
Maka terdapat x elemen bil. Real ketika y1 = y2

Jika x elemen bilangan Real, maka persamaan kuadrat diatas harus memiliki Diskriminan yang lebih besar sama dengan nol
D = 0, akar-akar (nilai x) elemen Real dengan 2 bilangan yang sama (1 angka saja)
D > 0, akar-akar (nilai x) elemen Real dengan 2 bilangan yang berbeda

Diskriminan D = -44
D < 0, akar-akar (nilai x) adalah elemen bilangan kompleks dengan adanya bilangan imajiner Kontradiksi dengan pernyataan bahwa D harus lebih dari atau sama dengan nol

X elemen bilangan kompleks (dengan adanya bilangan Imajiner)
Kontradiksi dengan pernyataan bahwa x harus elemen bilangan Real

Pengandaian diingkar dan pernyataan dianggap benar
Terbukti bahwa kedua grafik tidak berpotongan

2.a dan b bilangan negatif dengan a < b, maka

Dimisalkan a = -n-k

b = -n, dengan k,n elemen N bilangan Asli

Terlihat bahwa –n-k < -n adalah suatu hal yang benar untuk a < b

Karena jika kedua ruas ditambah (n+k)

-n-k + (n+k) < -n + (n+k)

0 < k , adalah suatu hal yang benar pula karena k elemen N bilangan asli

(i) ke (ii)

a < b

-n-k < -n ...(1)

Dengan teorema bahwa bilangan positif pasti lebih besar dari bilangan negatif,maka dapat kita manipulasi

-n < n+k ...(2)

Dari pertidaksamaan (1) dan (2), didapat

-n-k < -n < n+k

-(n+k) < -n < n+k

a < b < -a

dapat pula ditulis

-a > b > a

Hal ini adalah arti nilai mutlak, dapat dituliskan

| a | > b

(ii) ke (iii)

| a | > b
-a > b > a
n+k > -n > -n-k
terdapat dua pertidaksaamaan

(n+k+n)(n+k-n) > 0
n+k+n > 0 atau n+k-n > 0
Untuk n+k+n > 0
n+k > -n
n+k > -n > -n-k
-a > b > a
Adalah tanda mutlak seperti pernyataan (ii) | a | > b

Untuk n+k-n > 0
n+k > n
kedua ruas dikali (-1)
-n-k < -n

a < b kembali ke pernyataan (i).

3. Jika x = akar(3) , maka x bilangan irrasional
Dengan Bukti kontradiksi
Andaikan (~ q ) benar
Andaikan x bilangan rasional
Maka x = akar(3) dapat dinyatakan dalam bentuk pecahan yang paling sederhana
Dalam arti untuk akar(3) = a/b. a dan b keduanya haruslah saling relatif prima, dengan fpb (a,b) = 1

Sehingga, a = 3t dan b = 3s
Dengan t,s elemen Z bilangan bulat
Maka pecahan a/b bukan bentuk pecahan yang paling sederhana
Karena pecahan a/b = 3s/3t
Masih dapat disederhanakan dengan membagi pembilang dan penyebut dengan 3 menjadi a/b = s/t
Hal ini kontradiksi dengan pernyataan bahwa a/b pecahan yang paling sederhana

FPB(a,b) jelas adalah 3
Kontradiksi dengan pernyataan bahwa FPB(a,b) adalah 1

Pengandaian diingkar,dan pernyataan awal terbukti benar
Terbukti bahwa akar(3) adalah bilangan irrasional

4. Dengan Induksi Matematika

5. Jika p membagi ab maka p membagi a atau p membagi b.
Dengan p bilangan prima
Antiseden p : p membagi ab
Konsekuen q : p membagi a atau p membagi b (Pernyataan Disjungsi a V b)
Dengan Bukti Kontradiksi
Andaikan (~q) benar
~ ( a V b ) ekuivalen dengan ~ a dan ~ b
P membagi ab, ditulis ab = px, dengan x elemen N bilangan asli, tidak bersisa (sisa = 0)
Andaikan (~q), andaikan p tidak membagi a dan p juga tidak membagi b
a = pq+r , dengan q,r elemen N bilangan asli, dan 0 < r < q (r adalah sisa hasil bagi)
b = ps+t , dengan s,t elemen N bilangan asli, dan 0 < t < s (t adalah sisa hasil bagi)

sehingga ab = (pq+r)(ps+t)
= (pqps + pqt + psr +rt)
= p(pqs + qt + sr) + rt
Dengan (pqs + qt + sr) elemen N bilangan asli, terdapat sisa rt yang tidak sama dengan nol, karena 0 < r < q, dan 0 < t < s
Menyebabkan 0 < rt < (pqs + qt + sr)
Terdapat sisa rt (yang tidak sama dengan nol) saat p membagi ab
Hal ini KONTRADIKSI (Bertentangan) dengan pernyataan Antiseden p bahwa p membagi habis ab dengan sisa = 0
Sehingga pengandaian diingkar dan pernyataan awal terbukti benar.
Terbukti bahwa Jika p membagi ab maka p membagi a atau p membagi b.

Pembahasan Kuis Paling Akhir DDM 2

Kepada segenap agan agan yang saya hormati
Tak lupa pula dengan mbak sist yang sangat saya sayangi

Nilai ane kalah gan, dari teman ane sendiri yang belajar bareng dengan ane
Namanya Agus Randhani Rahmatullah
Ada cerita unik dari nama teman ane ini
Secara tidak sengaja, ane bisa menebak secara benar arti namanya
Dan secara tidak langsung, dia bercerita panjang lebar tentang arti namanya

Jadi gini, dulu jaman tidak enak saat perang timor timor
Ayahnya dhani ikut berangkat ke peperangan disaat ibunya dhani lagi hamil
Yang ditakutkan adalah ketika Ibunya dhani menjadi Janda atau men-Janda-ni.
Jikalau ayahnya wafat saat perang (berpulang ke Rahmatullah)
Akhirnya anaknya dinamakan Agus, artinya anak bagus

Singkat cerita jadi gini
Anak baGUS yang menjaga jikalau ibunya ngeRANDHANI di saat ayahnya berpulang ke RAHMATULLAH
Jadilah anak nan pintar yang bernama AGUS RANDHANI RAHMATULLAH
Dan Ternyata alhamdulillah, ayahnya belum mati

Tetapi Kali ini ternyata ane ditertawakan gan
Ditertawakan orang2 sekelas lagi, termasuk dosennya
Padahal belum tentu yang menertawakan ane itu nilainya lebih baik dari ane
Padahal nilai ane yang 64 itu kan gak jelek jelek amat
Entahlah, biarkanlah "ANJING" menggonggong
Dewasa ini gk ada gan, orang yang ikut senang saat orang lain bahagia
Yang ada, orang itu iri dan justru malah lebih senang melihat orang lain menderita

Wah, koq ane jadi ngasih pesan moral gini
Entahlah,langsung aja cekidot ke soal

1. Buktikan bahwa n^3 - n habis dibagi 3
Jawab : Sebelumnya untuk n=2 8-2 = 6 , 6 habis dibagi 3 Karena 6 = 3x2
Dengan Teorema Induksi Matematika
untuk n=1
1-1=0, 0 kelipatan 3 sebab 0=0x3
untuk n=k
k^3 - k habis dibagi 3 dengan t elemen N bilangan Asli
k^3 - k = 3t
untuk n=k+1
(k+1)^3 - (k+1)
=k^3 + 3k^2 + 3k + 1 - k - 1
=k^3 + 3k^2 + 3k - k
=(k^3 - k) + 3k^2 +3k
=3t + 3(k^2 + k)
=3(t + k^2 + k)
dengan (t + k^2 + k) elemen N Maka berlaku pula untuk n=k+1
Dengan Demikian Terbukti benar bahwa n^3 - n selalu habis dibagi 3

InterMEZZO Sebenarnya ketika diuraikan n^3 - n = n(n-1)(n+1)
Himpunan Kelas ekuivalensi yang terPartisi untuk kelipatan 3,yaitu
[1] = { ...,-5,-2,1,4,7,10,... }
[2] = { ...,-4,-1,2,5,8,11,... }
[3] = { ...,-3,0,3,6,9,12,... } Termasuk juga 0
(Lazimnya Himpunan [3] ditulis Himpunan [0])
Sehingga untuk n himpunan [1] Ambillah n=4 4(4-1)(4+1) Terlihat kelipatan 3 di n-1 yaitu 4-1
Untuk n himpunan [2], ambil n=2 2(2-1)(2+1) Terlihat kelipatan 3 di n+1 yaitu 2+1
Untuk n himpunan [3], terihat kelipatan 3 di n, ambil n=3 3(3-1)(3+1) Terlihat di n=3

2. Buktikan bahwa akar(2) adalah bilangan irrasional
(Pentunjuk : Jika x bilangan rasional, maka x dapat dinyatakan dalam bentuk pecahan yang paling sederhana)

Jawab : Dari petunjuk tersebut, secara tidak langsung memberitahukan bahwa untuk x = a/b bentuk pecahan yang paling sederhana
a dan b relatif prima, Artinya tidak ada faktor persekutuan dari a dan b selain 1
fpb(a,b) = 1 dan memang hanya satu (tunggal) yaitu 1 itu sendiri
Barulah x dikatakan bentuk pecahan yang paling sederhana

Dengan Pernyataan :
Jika x adalah akar(2), maka x merupakan bilangan irrasional

Dengan Bukti Kontradiksi
Andaikan ( ~q ) benar
Andaikan x adalah bilangan rasional (Dengan mengasumsikan p juga benar => p : x adalah akar(2)
Andaikan x adalah bilangan rasional, x dapat dinyatakan dengan a/b
Dengan a,b elemen Z (Elemen bilangan bulat dan b tidak sama dengan nol ( b != 0 )

akar(2) = a/b
Kuadratkan kedua ruas
2 = a^2/b^2
a^2 = 2(b^2)
a kuadrat merupakan bilangan positif kelipatan 2, maka a kuadrat genap
Jika a kuadrat genap, maka a juga bilangan genap
a dapat dinyatakan dengan 2t dengan t elemen N (N bilangan asli)
a = 2t

Substitusikan a = 2t ke persamaan awal
a^2 = 2(b^2)
(2t)^2 = 2(b^2)
4(t^2) = 2(b^2)
2(t^2) = b^2
b kuadrat adalah 2(t kuadrat) dengan t elemen N, maka b kuadrat genap
Jika b kuadrat genap, maka b juga genap
b dapat dinyatakan dengan 2s dengan s elemen N (N bilangan asli)

Sehingga a/b = 2t/2s
a/b bukan merupakan pecahan yang paling sederhana, karena ada faktor persekutuan 2
a/b masih bisa dinyatakan lagi dengan t/s
Karena ada faktor persekutuan lain selain 1 pada a dan b
(Faktor tersebut adalah 2, karena a dan b sama sama genap)
Maka hal tersebut bertentangan (KONTRADIKSI) dengan pernyataan bahwa :
1. a/b bentuk pecahan yang paling sederhana
2. a dan b merupakan relatif prima dimana tidak ada faktor persekutuan dari a dan b selain 1

Maka pengandaian ditolak, Pernyataan p dan ~q adalah salah
Menyebabkan pernyataan negasinya, p => q terbukti benar
Terbukti bahwa akar(2) adalah bilangan irrasional

InterMEZZO :
Sekedar mereview tentang bilangan prima
Bilangan prima adalah bilangan yang hanya mempunyai faktor dirinya sendiri dan 1
Seperti
2 = 2x1
3 = 3x1
5 = 5x1
7 = 7x1

Dan meskipun 9 = 9x1 , Tetapi 9 bukan merupakan bilangan prima
Karena ada faktor lain => 9 = 3x3

Nah, itu tadi absolut revo, eh maksudnya absolut prima gan
Ini ane jelaskan tentang relatif prima
Arti kata relatif, tidak mutlak, nisbi, tidak pasti
Artinya, bilangan tersebut tidak mesti prima, prima di kondisi tertentu
Kadang prima, kadang bukan
Kita tahu bahwa 9 bukan prima
4 juga bukan prima (Karena selain 4 = 4x1 ternyata 4 juga 4 = 2x2)
9 dan 4 bukan prima
Tetapi 9 terhadap 4 dan 4 terhadap 9
Mereka berdua saling prima relatif
Karena tidak ada faktor pembagi antara 4 dan 9
Faktor Persekutuan Terbesar(FPB) dari 4 dan 9 hanyalah 1 dan itu tunggal

Kita tahu bahwa 9 bilangan ganjil dan 6 adalah bilangan genap
Disini 6 dan 9 bukanlah relatif prima
Karena adalah faktor 3 yang dapat membagi 6 ( 6 = 3x2) dan dapat membagi 9 ( 9 = 3x3)

Disini kesalah ane
Ane pikir 4 bilangan genap dan 9 bilangan gasal, dan diantara mereka adalah relatif prima
Sehingga ane simpulkan bahwa untuk semua x bilangan genap dan y bilangan gasal
Maka antara x dan y pasti relatif prima
Tetapi Bu Dosen saya yang sangat pandai langsung memberi contoh 6/9
Saya langsung shock ketika 6/9 itu diberi lingkaran berwarna merah
Ternyata saya memang pantas ditertawakan
Saya memanglah seorang newbie yang saat itu kelabakan akan waktu ujian
Sehingga saya mengambil kesimpulan yang cepat dan salah hanya dari satu contoh

3. Tunjukkan untuk setiap bilangan real r terdapat bilangan real x, demikian hingga x^3 = r

Jawab :
Dengan teorema eksistensi akan dibuktikan :
Misalkan sebarang bilangan real yang memenuhi ada x elemen bilangan real ; x^3 = r
Sehingga misal ambil nilai r elemen bilangan Real ; r=1/a
maka akan terdapat nilai x elemen bilangan Real yang memenuhi x^3 = r ; yaitu a^-1/3 elemen bilangan Real

Begitupun jika kita mengambil nilai r = a^3
maka akan terdapat nilai x elemen bilangan Real yang memenuhi x^3 = r ; yaitu x = a^1/3 dengan a elemen bilangan Real

Dengan demikian untuk semua bilangan real r terdapat bilangan real x, sedemikian rupa sehingga x^3 = r

DDM2 Bukti Kontradiksi Nilai 100 yang membuat perpecahan

Wuih, sangar gan, ane yang gak sebegitu Rajin belajar ini dapat nilai 100
Update status fb gan (Add fb ane : Candra Arga Maulana)

UTS ane kemarin alhamdulillah yach, nilainya 73

Tapi Ane pernah dapat nilai 20 gan
Yang menyakitkan adalah, ane ditertawakan teman-teman sekelas
Termasuk dosennya
Menyinggung ane secara tersirat
Sang Dosen menyatakan, "Ya kalau responnya bagus, sering bertanya, harusnya ekuivalen lah dan konsisten dengan nilai yang bagus"
Wah, langsung galau hati ane gan, Karena memang ane sering bertanya, ane tidak langsung satu kali mudeng, sehingga sering bertanya
Tapi anehnya, teman-teman menanggapi lain, mereka pikir ane pintar, sebagian malah berpikir kalau ane sok pintar

Saat ane dapat 100, ane update sok sombong-sombongan gan
Sekarang siapa yang dapat 20
Woeh, sangar gan, ada anak Bangsat yang sok jagoan di depan ane.
Ngancem ane secara langsung dan mengajak berkelahi.
Pikir-pikir gan, kalau ane masih SMA sich, masih pantas berantem adu jotos
Lha wong sudah mahasiswa, di PT ternama, PT Negri juga, Tidak pantaslah gan kalau ane terima adu jotos
Seperti anak kecil saja.
Meskipun teman SMA ane yang kuliah di Univ sebelah yang PTS,banyak sich yang bisa diminta bantuan untuk menghajar anak Bangsat tersebut.
Tapi ane tetap berpegang teguh gan dengan prinsip kedewasaan.
Orang yang kuat itu bukanlah orang kekar badanya yang pandai berkelahi, tetapi Orang yang kuat adalah orang yang mampu menahan emosinya.
Toh sebenarnya ane juga tidak ada masalah dengan dia. Ini hanya salah paham.
Ada yang mengumpat langsung ke ane.
Ane jadi mikir, ini ane yang dikira sombong beneran? atau memang nilai mereka yang 20, sehingga mereka begitu marahnya.

Lama-lama satu persatu teman ane membenci ane.
Anak bangsat tersebut menularkan kebenciannya ke teman-teman ane sehingga teman ane berkurang.
Lama kelamaan, ane jadi tidak kerasan dengan dunia perkuliahan.
Pelajarannya sulit, Tugasnya banyak, Dosen sukanya mengejek, Banyak teman membenci ane.
Akhirnya ane ambil jalan tengahnya.
Datang selalu terlambat, Setelah kuliah, lalu pulang. Tidak menyapa teman. Ane berubah menjadi Mahasiswa Kupu kupu yang Apatis.
Sehingga ane usahakan tidak ada waktu luang untuk ane bercanda dengan teman-teman.

Langsung cekidot ke soal aja gan
1 soal pembawa bencana

1. Buktikan kebenaran pernyataan berikut :
Jika x bilangan rasional dan y bilangan irrasional, maka 2x - y adalah bilangan irrasional

Penyelesaian :
Dengan Bukti Kontradiksi ~(p => q) ekuivalen dengan p dan ~q

Andaikan (~q) benar
Andaikan 2x - y adalah bilangan rasional, maka 2x - y dapat dinyatakan dengan a/b dengan a,b elemen Z (Z = bilangan bulat) , dan b tidak sama dengan nol ( b != 0 )

Diasumsikan p benar, diperoleh
x bilangan rasional dan y bilangan irrasional
Sehingga ketika x bilangan rasional, haruslah y bilangan irrasional
Karena tidak ada identifikasi y bilangan irrasional
Gunakan permisalan x adalah bilangan rasional

x bilangan rasional, x dapat dinyatakan dalam p/q dengan p,q elemen Z dan q tidak sama dengan nol ( q != 0 )
Sehingga,
2x - y = a/b dengan x = p/q
2(p/q) - y = a/b
-y = (a/b) - 2(p/q)
y = 2(p/q) - (a/b)
y = (2bp-aq)/(bq)
dengan a,b,p,q elemen Z dan b != 0 dan q !=0 sehingga bq juga tidak sama dengan nol
Maka, menurut sifat sebelumnya, y teridentifikasi sebagai bilangan rasional

y bilangan rasional, bertentangan (KONTRADIKSI) dengan pernyataan awal bahwa y adalah bilangan rasional
Sehingga pengandaian diingkar ( p dan ~q terbukti salah) dan sebaliknya p => q (sebagai negasinya) Bernilai BENAR

Sehingga Terbukti bahwa Jika x bilangan rasional dan y bilangan irrasional, maka 2x - y adalah bilangan irrasional

Ada pertanyaan gan, Silahkan dikomeng !

Sekian
Terima kasih