Tugas Kelompok III DDM 2

Tugas Kelompok III
1 kelompok 3 orang, dikumpulkan paling lambat Senin, 3 Desember 2012 pukul 07.00
(di Ruang 205)

1. Tentukan kebenaran pernyataan berikut
Misalkan p bilangan bulat, Jika p membagi x.y , maka p membagi x atau y

2. Buktikan pernyataan berikut
Misalkan r dan s merupakan bilangan asli. Pernyataan di bawah ini ekuivalen :
a. r > s

3. Diketahui bilangan rasional.
Tunjukkan :
a. |x + y | <= |x| + |y|

b. |x| - |y| <= |x-y|

Jawab :


1.

Hey,,,Sebentar gan
Lihat dulu pertanyaan nya,,Jangan langsung ngerjakan aja
Kerja kuli itu namanya.
Soalnya itu Tentukan kebenaran pernyataan berikut.
Intuisi saya sich,, Kalau Bu Inna memberikan soal TENTUKAN, SELIDIKILAH
Itu biasanya pernyataan Tersebut salah
Kenapa? Karena Pernyataan yang benar,,
pasti dikeluarkan dalam soal yang diawali dengan kata “BUKTIKAN”
(Ini Intuisi gara gara sering ngulang Mata Kuliah DDM)

Jadi untuk membuktikan bahwa pernyataan tersebut salah
Berikan counter example (Contoh penyangkal) untuk pernyataan tersebut
Jawab : Dengan alasan kesederhanaan, Kita punya pernyataan
p : p membagi x.y
q : p membagi x
r : p membagi y
Intuisi awal : Pernyataan tersebut salah

Sehingga karena didapatkan counter example yang membuat pernyataan diatas bernilai Salah
Maka dapat kita TENTUKAN bahwa pernyataan
Misalkan p bilangan bulat, Jika p membagi x.y , maka p membagi x atau y
Bernilai SALAH
(Jawabannya memang antara benar atau salah,,Bukan TERBUKTI :D )

NB : Pernyataan diatas terbukti BENAR Ketika p adalah bilangan prima
Pembuktian nya seperti pembuktian di awal,,ada di postingan saya sebelumnya

2. (Iki bahasa manusianya)
Pernyataan dikatakan ekuivalen jika bisa muter muter secara silogisme
Selalu benar dari (a) ke (b)
Lalu dari (b) ke (c) ,, Kemudian kembali lagi dari (c) ke (a)
Untuk masalah teknis,bisa dimulai dari (b) ke (c) dulu
Atau dimulai dari (c) ke (a) dulu,,,Yang pasti muternya kudu pas
(Untuk Bahasa Matematika nya dirapikan sendiri yach)

3. Buat semua kondisi x,y yang mungkin, lalu buktikan bahwa kedua ketaksamaan segitiga tersebut berlaku
Ingat Adalah pernyataan disjungsi atau, yang biasanya untuk x,y tertentu dari kemungkinan yang terambil , hanya akan didapatkan salah satu kondisi
Sama dengan saja, atau kurang dari saja (Ingat sifat Trikotomi DDM1)
Tetapi sudah memenuhi

Pembuktian Himpunan Kosong Himpunan Bagian Sebarang Himpunan

Ini Soal yang menurut saya sangat dejavu
Sering banget keluar pada soal soal di mata kuliah Dasar Dasar Matematika
Baik di soal Kuis, UTS, Maupun UAS
Tetapi Seberapa sering soal ini keluar, se sering itu juga saya salah dalam mengerjakan

Baiklah ini lah Soal nya

Buktikan Bahwa Himpunan Kosong adalah Himpunan Bagian dari sebarang Himpunan

Jawab :

Diambil sebarang Himpunan A,B
Dengan A Himpunan Bagian Dari B

A himpunan Bagian dari B jika untuk setiap x elemen A, x juga elemen B
Jadi anggap antiseden p adalah : x elemen A
dan Konsekuen q adalah : x elemen B

Karena A,B sebarang Himpunan
dan kita ingin membuktikan Himpunan Kosong Himpunan Bagian dari sebarang Himpunan
Maka kita pilih A = Himpunan Kosong (Toh A iku sebarang Himpunan)
Akan kita buktian apakah Himpunan Kosong Himpunan Bagian dari B (B=sebarang Himpunan)

Himpunan Kosong adalah Himpunan yang tidak memiliki angggota
Sehingga pernyataan p yang menyebutkan bahwa x elemen Himpunan Kosong adalah salah
(Karena tidak ada x elemen Himpunan Kosong,,wong Himp Kosong gak punya anggota)

Pernyataan p salah
Sehingga Apapun nilai kebenaran pernyataan q
Menyebabkan nilai kebenaran pernyataan p => q selalu benar

Sehingga terbukti bahwa Himpunan Kosong adalah Himpunan Bagian dari sebarang Himpunan

Selesai

Sudah ya gan

Pendapat saya :
Jawaban itu benar ketika anda mengerjakan soal DDM2 yang seperti itu
Aneh nya,
Dosen Saya menjelaskan hal ini secara tidak langsung saat Kuliah Struktur Aljabar
Jadi dapat dipertanggungjawabkan kebenaran nya.
Menurut saya sich
Pembuktian diatas merupakan pembuktian yang lucu :D
Tapi Logis
Lihat bahwa ketika p salah, q benar , maka p => q benar
Ketika p salah , q salah , maka p => q juga tetap benar

Saya dulu menjawab nya begini

Misal A Himpunan dengan elemen nya { a1,a2,...,an)
Maka
A Himpunan Bagian dari A
A\{a1} Himpunan Bagian dari A
A\{a1,a2} Himpunan Bagian dari A

Sehingga secara umum Jika B Himpunan Bagian dari A
Maka A\B Himpunan Bagian dari A

Artiya ketika kita mengambil B = A
Maka (B = A) A Himpunan Bagian dari A (Himpunan Bagian Tak Sejati)

Sehingga A\B = A\A
A\B Himpunan Bagian dari A ( Untuk setiap B Himpunan Bagian dari A)
Maka A\A Himpunan Bagian dari A

Definisi A\B = {x | x elemen A, x bukan elemen B)
Jadi A\A = {x | x elemen A, x bukan elemen A) = Himpunan Kosong

Karena A\A Himpunan Bagian dari A
dan A\A = Himpunan Kosong
Maka Terbukti bahwa Himpunan Kosong adalah Himpunan Bagian dari sebarang Himpunan

Tetapi Jawaban saya yang begini disalahkan :'(

Yach,,,begitulah
Selamat berduka ria yach yang ikut Kuliah Dasar Dasar Matematika

Pembuktian Tak Langsung Dengan Metode Kontraposisi

Terkadang suatu pembuktian tidak dapat dibuktikan secara langsung

Okelah ane ngaku, "tidak dapat" disini bisa memiliki dua arti
Pertamax,
Karena memang tidak ada metode apapun yang bisa membuat pernyataan tersebut terbukti secara langsung, dan cenderung lebih mudah dan logis ketika dibuktikan secara tak langsung.

atau kemungkinan kedua
#ane yang memang tidak bisa mengerjakan soalnya,
karena sebelum ujian,, ane tidak belajar :D
#Just kidding gan

Baiklah, untuk metode pembuktian tidak langsung sendiri
Terdapat dua macam, yaitu
1. Metode Kontraposisi
2. Metode Kontradiksi

Pernyataan p -> q ekuivalen dengan kontraposisi nya yaitu ~q -> ~p
Sehingga logis donk ketika kita membuktikan bahwa kontraposisi nya ( ~q -> ~p) benar
Maka secara TIDAK LANGSUNG, kita telah membuktikan pernyataan awal ( p -> q) juga benar
Hal inilah yang dinamakan Bukti tak langsung dengan metode kontraposisi

Contoh :
(NB : Contoh ini juga idem dengan postingan ane tentang akar(3) bilangan irrasional)

Buktikan bahwa
Jika n kuadrat genap, maka n genap

Diskusi :
Kalau agan agan langsung kerja kuli dengan bukti langsung
agan tulis n^2 = 2k , dengan k elemen Z Himpunan Bilangan Bulat
lalu??? n = akar(2k) ???? jadi apa gan??? bingung kan???

Penyelesaian :
jika p maka q
p : n kuadrat genap
q : n genap
Dengan metode kontraposisi
Kita buktikan kebenaran penyataan kontraposisi nya yaitu

Jika n gasal, maka n kuadrat gasal

(Ingat : negasi dari genap adalah gasal,,not the others
Njawab : Lha ganjil kan negasi nya genap kak? Halah,,sama saja dek)

n gasal
n dapat dinyatakan dengan 2k + 1 ,dengan k elemen Z

(Bilangan gasal iku bilangan yang gak habis ketika dibagi 2)

Sehingga terbukti benar bahwa
Jika n gasal, maka n kuadrat gasal

Secara tidak langsung pernyataan awal terbukti benar
Terbukti bahwa

Jika n kuadrat genap, maka n genap


Huft,,,seneng dech kalau sudah ketemu kata "TERBUKTI"

Thanks

Tagged : DDM2 , Kontraposisi , Bukti tak langsung , jika n^2 genap maka n genap

Pembuktian Biimplikasi gampang gampang-an

Thanks atas aganwati/sista Indah Permata, Maba Math UI
Salam Semangat dan Selamat

Akan di update kan Pembahasan Soal kemarin

Buktikan bahwa a < b jika dan hanya jika (1/a) > (1/b)

Nah loh

Biimplikasi merupakan pernyataan implikasi 2 arah

Jawab :

(i). Dibuktikan Bahwa Jika a < b maka (1/a) > (1/b)
Jika a < b , maka ada dengan tunggal n elemen N bilangan asli sehingga a + n = b

(1/a) = 1/a

(1/b) = 1/(a+n)

Menyamakan penyebut dengan KPK a(a+n)

(1/a) = (a+n)/[a(a+n)]

(1/b) = a/[a(a+n)]

maka jelas bahwa a+n > a
Sehingga terbukti bahwa (1/a) > (1/b)


(ii). Dibuktikan Bahwa Jika (1/a) > (1/b) maka a < b

Kita tidak bisa membandingkan pecahan jika Penyebutnya tidak sama

Menyamakan penyebut dengan KPK ab

(1/a) = b/ab

(1/b) = a/ab

jelas bahwa b > a
Atau dengan kata lain a < b

Terbukti bahwa a < b

Karena terbukti dari 2 sisi (kiri ke kanan dan kanan ke kiri)

Maka terbukti Bahwa
a < b jika dan hanya jika (1/a) > (1/b)

Thanks Before

MASTER KONTRADIKSI : Pembahasan UAS DDM II

Ujian Akhir Semester Gasal 2011/2012
Mata Kuliah : Dasar-dasar Matematika II
Hari/tanggal : Kamis, 5 Januari 2012
Waktu : 100 Menit
Pembina : Dra. Inna Kuswandari M.Si
: Liliek Susilowati, S.Si, M.Si

1. Tunjukkan bahwa grafik fungsi y = 3x^2 + 2x + 3 dan y = -2x -2 tidak berpotongan
2. Jika a dan b adalah bilangan negatif maka tunjukkan bahwa pernyataan di bawah ini ekivalen :
i. a < b

ii. |a| > b
iii. a^2 > b^2
3. Buktikan bahwa akar(3) merupakan bilangan irrasional.
4. Tunjukkan bahwa 9^n – 2^n habis dibagi 7 untuk setiap bilangan asli n.
5. Misalkan p bilangan prima, tunjukkan jika p membagi ab maka p membagi a atau p membagi b.
6. Diketahui f dan g masing-masing merupakan fungsi gasal bernilai real.
Tunjukkan apakah pernyataan di bawah ini bernilai benar. Berikan argumentasi anda.
a. f+g merupakan fungsi gasal
b. fog merupakan fungsi genap

************
1. Bekerjalah dengan penuh percaya diri, kejujuran dan tanggung jawab.
2. Kecurangan berakibat pada tidak dikoreksinya lembar kerja anda.


Ketemu lagi gan
Langsung cekidot saja ya ke TKP
Nama : Candra Arga Maulana
NIM : 081012063
Prodi : Matematika
Tanda tangan :
Jawaban :
1. Dengan Bukti Kontradiksi
Andaikan ( ~q ) benar
Andaikan kedua grafik itu berpotongan
Maka terdapat x elemen bil. Real ketika y1 = y2

Jika x elemen bilangan Real, maka persamaan kuadrat diatas harus memiliki Diskriminan yang lebih besar sama dengan nol
D = 0, akar-akar (nilai x) elemen Real dengan 2 bilangan yang sama (1 angka saja)
D > 0, akar-akar (nilai x) elemen Real dengan 2 bilangan yang berbeda

Diskriminan D = -44
D < 0, akar-akar (nilai x) adalah elemen bilangan kompleks dengan adanya bilangan imajiner Kontradiksi dengan pernyataan bahwa D harus lebih dari atau sama dengan nol

X elemen bilangan kompleks (dengan adanya bilangan Imajiner)
Kontradiksi dengan pernyataan bahwa x harus elemen bilangan Real

Pengandaian diingkar dan pernyataan dianggap benar
Terbukti bahwa kedua grafik tidak berpotongan

2.a dan b bilangan negatif dengan a < b, maka

Dimisalkan a = -n-k

b = -n, dengan k,n elemen N bilangan Asli

Terlihat bahwa –n-k < -n adalah suatu hal yang benar untuk a < b

Karena jika kedua ruas ditambah (n+k)

-n-k + (n+k) < -n + (n+k)

0 < k , adalah suatu hal yang benar pula karena k elemen N bilangan asli

(i) ke (ii)

a < b

-n-k < -n ...(1)

Dengan teorema bahwa bilangan positif pasti lebih besar dari bilangan negatif,maka dapat kita manipulasi

-n < n+k ...(2)

Dari pertidaksamaan (1) dan (2), didapat

-n-k < -n < n+k

-(n+k) < -n < n+k

a < b < -a

dapat pula ditulis

-a > b > a

Hal ini adalah arti nilai mutlak, dapat dituliskan

| a | > b

(ii) ke (iii)

| a | > b
-a > b > a
n+k > -n > -n-k
terdapat dua pertidaksaamaan

(n+k+n)(n+k-n) > 0
n+k+n > 0 atau n+k-n > 0
Untuk n+k+n > 0
n+k > -n
n+k > -n > -n-k
-a > b > a
Adalah tanda mutlak seperti pernyataan (ii) | a | > b

Untuk n+k-n > 0
n+k > n
kedua ruas dikali (-1)
-n-k < -n

a < b kembali ke pernyataan (i).

3. Jika x = akar(3) , maka x bilangan irrasional
Dengan Bukti kontradiksi
Andaikan (~ q ) benar
Andaikan x bilangan rasional
Maka x = akar(3) dapat dinyatakan dalam bentuk pecahan yang paling sederhana
Dalam arti untuk akar(3) = a/b. a dan b keduanya haruslah saling relatif prima, dengan fpb (a,b) = 1

Sehingga, a = 3t dan b = 3s
Dengan t,s elemen Z bilangan bulat
Maka pecahan a/b bukan bentuk pecahan yang paling sederhana
Karena pecahan a/b = 3s/3t
Masih dapat disederhanakan dengan membagi pembilang dan penyebut dengan 3 menjadi a/b = s/t
Hal ini kontradiksi dengan pernyataan bahwa a/b pecahan yang paling sederhana

FPB(a,b) jelas adalah 3
Kontradiksi dengan pernyataan bahwa FPB(a,b) adalah 1

Pengandaian diingkar,dan pernyataan awal terbukti benar
Terbukti bahwa akar(3) adalah bilangan irrasional

4. Dengan Induksi Matematika

5. Jika p membagi ab maka p membagi a atau p membagi b.
Dengan p bilangan prima
Antiseden p : p membagi ab
Konsekuen q : p membagi a atau p membagi b (Pernyataan Disjungsi a V b)
Dengan Bukti Kontradiksi
Andaikan (~q) benar
~ ( a V b ) ekuivalen dengan ~ a dan ~ b
P membagi ab, ditulis ab = px, dengan x elemen N bilangan asli, tidak bersisa (sisa = 0)
Andaikan (~q), andaikan p tidak membagi a dan p juga tidak membagi b
a = pq+r , dengan q,r elemen N bilangan asli, dan 0 < r < q (r adalah sisa hasil bagi)
b = ps+t , dengan s,t elemen N bilangan asli, dan 0 < t < s (t adalah sisa hasil bagi)

sehingga ab = (pq+r)(ps+t)
= (pqps + pqt + psr +rt)
= p(pqs + qt + sr) + rt
Dengan (pqs + qt + sr) elemen N bilangan asli, terdapat sisa rt yang tidak sama dengan nol, karena 0 < r < q, dan 0 < t < s
Menyebabkan 0 < rt < (pqs + qt + sr)
Terdapat sisa rt (yang tidak sama dengan nol) saat p membagi ab
Hal ini KONTRADIKSI (Bertentangan) dengan pernyataan Antiseden p bahwa p membagi habis ab dengan sisa = 0
Sehingga pengandaian diingkar dan pernyataan awal terbukti benar.
Terbukti bahwa Jika p membagi ab maka p membagi a atau p membagi b.